فصل نهم - مساحت چه ربطی به شیب دارد؟

این ویدئو توسط کانال "۳Blue۱Brown" در تاریخ ۶ می ۲۰۱۷ منتشر شده و در زمینه آموزشی قرار دارد. عنوان ویدئو "چه ارتباطی بین مساحت و شیب وجود دارد؟ | فصل ۹، اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال" است. ویدئو به بررسی این موضوع می‌پردازد که چرا انتگرال و مشتقات معکوس یکدیگر هستند. در این ویدئو، مفهوم میانگین یک متغیر پیوسته و نحوه محاسبه آن با استفاده از انتگرال مورد بررسی قرار می‌گیرد. به عنوان مثال، میانگین ارتفاع نمودار تابع سینوس در بازه صفر تا پی (نصف دوره تناوب آن) محاسبه می‌شود. این موضوع با استفاده از مفهوم انتگرال و مشتق به تصویر کشیده می‌شود. برای محاسبه میانگین، ابتدا انتگرال تابع در بازه مورد نظر محاسبه می‌شود و سپس بر طول بازه تقسیم می‌شود. این فرآیند نشان می‌دهد که چگونه میانگین ارتفاع یک نمودار با مساحت زیر نمودار و شیب آن مرتبط است. ویدئو همچنین به ارتباط بین مفهوم میانگین در متغیرهای پیوسته و مفهوم معمولی میانگین در متغیرهای گسسته می‌پردازد. این ارتباط از طریق مفهوم انتگرال و مشتق توضیح داده می‌شود، که نشان می‌دهد چرا انتگرال و مشتقات معکوس یکدیگر هستند. در نهایت، ویدئو به توضیح این موضوع می‌پردازد که چگونه می‌توان مفاهیم مربوط به متغیرهای گسسته را به متغیرهای پیوسته تعمیم داد و از انتگرال برای حل مسائل مرتبط با متغیرهای پیوسته استفاده کرد.